En esta Wiki les enseñare los casos de factorización del 1 al 10, explicaremos cada uno de sus pasos correspondientes.
Les mostraremos como hacer algunos polígonos regulares con compás, regla y transportador.
Indice:
Factorización:
Primer caso: Factor común.
Segundo caso: Factor común por agrupación de términos.
Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto.
Cuarto caso: Diferencia de cuadrados.
Quinto caso: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.
Sexto caso: Trinomio de la forma ax²+-bx+-c.
Séptimo caso: trinomio de la forma x²+bx+c.
Octavo caso: Cubo perfecto.
Noveno caso: Suma o diferencia de cubos perfectos.
Décimo caso: Suma y diferencia de potencias iguales.
Primer caso: Factor común.
Factor Común Aparece en todos los términos de la expresión algebraica, un término común Identificar el máximo término común Dividir la expresión algebraica original entre el máximo término común.
Hallar el múltiplo común del coeficiente numérico.
Elegir la parte literal del menor exponente.
Dividir la expresión entre el factor común.
Expresar el factor común multiplicando cociente.
Ejemplo:
3x+6x +12x
3(x+2x+4x)
Segundo caso: Factor común por agrupación de términos.
Factor común polinomio Es un monomio que es divisor de todos los términos de un polinomio.
Aplicar factor común en los grupos.
Aplicar de nuevo factor común si es posible.
Ejemplo:
4x+8x+9y+18y
(8x+4x) + (18y+9y)
Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto.
Factor Común por Agrupación de Términos Aparece un término común compuesto después de agrupar términos con factores comunes simples Agrupar términos con factores comunes, usando la propiedad asociativa Factorizar (Caso I) en cada grupo, los factores comunes Identificar el máximo término común Dividir la expresión algebraica entre el máximo término común
Sacar la raíz del primer y del tercer termino
Multiplicar las raíces entre si y por dos
Agrupar las raíces entre paréntesis a la dos con el signo del segundo termino
Ejemplo:
4x²+72xy+9y²
4x x 9x x 2=72xy
(4x+9y)²
Cuarto caso: Diferencia de cuadrados.
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo
Hallar las raíces de ambos términos.
Agruparlas en 2 grupos, uno con positivo y otro con negativo.
Ejemplo:
9x-16x
(4x+3x) (4x -3x)
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
Hallar raíces del primer y tercer termino
Multiplicar las raíces entre si y por 2
Restar el resultado al segundo termino
Sumar o restar el resultado de la resta
Factorizar el trinomio
Si se puede; volver a factorizar
Ordenar la expresión.
Ejemplo
a² + ab +b²
a * b * 2 = 2ab
a² + ab + b² ---- + ab -ab
Aplicar trinomio cuadrado perfecto
(a+b) ² - ab
Sexto caso: Trinomio de la forma ax²+-bx+-c.
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Encontrar dos números que multiplicados den C y sumados den B
Agrupar en dos paréntesis distintos con la raíz de a y los signos que correspondan
x²+5x+6
3 x 2 = 6
3 + 2= 5
(x+3) (x+2)
Séptimo caso: Trinomio de la forma ax² + bx + c
Se identifica por tener tres términos y nos ser perfecto, ademas "a" debe ser diferente a 0 y a 1.
Multiplicar el 1 y 3 termino por "a" y así mismo ponerlo dividiendo la expresión
Buscamos dos números que multiplicados den "c" y sumados den "a"
Agrupamos los términos por la raíz del primer termino
Para que una expresión sea un cubo perfecto: Tiene cuatro términos. Que el primero y el último término sean cubos perfectos. Que el 2do término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del 1er término multiplicado por la raíz cúbica del último término. Que el 3er término sea más el triplo de la raíz cúbica del 1er término por el cuadrado de la raíz cúbica del último.
Ejemplo:
8x³+ 12x²+ 6x + 1 3(2x) 2 (1) = 12x2 (2x+1)³ Noveno caso: Suma o diferencia de cubos perfectos.
Mirar si es suma o resta de cubos para obtener la raíz cúbica del primer y segundo términos. Escribir el producto de los binomios por trinomio correspondiente.
Hallar las raíces de ambos términos
Agruparlas con el signo correspondiente
En otro paréntesis agrupar la primera raíz a la 2 + o - la primera y segunda raíz multiplicadas + o- la segunda raíz a la 2.
Realizar las operaciones y ordenar si es necesario.
Ejemplo:
x³ + y³
(x + y) (x² - xy + y²)
Décimo caso: Suma y diferencia de potencias iguales.
Es un binomio donde el primer y segundo termino tengan la misma raíz exacta
Hallar las raíces
Agruparlas con el signo correspondiente
En otro grupo agruparlas multiplicándose con el exponente adecuado y basándose en el numero del exponente del 1 termino.
4.Realizar las operaciones y organizar.
Ejemplo:
a5 + b5
(a + b) (a4 b0 - a³+b¹ + a²b² - a¹b³ + a0b4)
(a + b) (a4 - a³ + a²b³ - b³ + b4)
SUGUNDO PERIODO
Fracciones:
En matemáticas, una fracción,es la expresión de una cantidad dividida entre otra.
El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales.
frac{3}{4} + frac{1}{4} = 1
Fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
Los numeros complejos es un numero real sumado o retado con un numero imaginario.
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
un número real mayor que uno se produce una dirección de la recta que contiene al vector asociado al número complejo z . Por ejemplo, si multiplicamos z por 2 podemos observar comparando el gráfico .
Gráficas polares:
Coordenadas polares:
Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida que pasa por O, llamada eje polar, como sistema de referencia.
Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica, todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector, mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar.
En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
la ecuación es una exprecion algebraica cuyo objetivo es hallar el valor de una incógnita .
Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones.
es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Traslación: es una transformación isometrica. ¿ Que es ? es un movimiento dentro del plano que se ejecuta cuando una figura se traslada de un punto a otro si cambiar su forma.
Homotecia: Esta transformación tiene como resultado figuras con la misma forma pero de diferente tamaño. Propiedades:
- Transforman rectas en recta.
- Transforma circulo en circulo.
Teselados: Patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana sin dejar espacio y que las imágenes no estén una encima de otra.
Composiciones: Es la composicion de dos elementos, cada uno de ellos conserva las distancias.
Para la composición de movimientos directos e inversos podemos establecer un criterio similar.
Giro: Es una rotación la cual se hace depende de los grados en la cual la figura no cambia de forma, es una traslación en la cual la figura gira o girar en una figura para el angulo que se mueve.
Simetría central: Correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo.
Simetría axial: La Simetría Axial es un movimiento en el que el eje r es mediatriz del segmento que une un punto cualquiera y su transformado, es decir, eje y segmento se cortan perpendicularmente en el punto medio del segmento. Diremos que un punto A y su transformado A´ son simétricos respecto de r.
La regla de Cramer es un teorema enálgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos determinantes. La regla de Cramer es importante porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo , es ineficiente para grandes matrices y no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones.
Bienvenidos a mi Wiki;
En esta Wiki les enseñare los casos de factorización del 1 al 10, explicaremos cada uno de sus pasos correspondientes.
Les mostraremos como hacer algunos polígonos regulares con compás, regla y transportador.
Indice:
Factorización:
Primer caso: Factor común.
Ejemplo:
3x+6x +12x
3(x+2x+4x)
Segundo caso: Factor común por agrupación de términos.
Ejemplo:
4x+8x+9y+18y
(8x+4x) + (18y+9y)
Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto.
Factor Común por Agrupación de Términos Aparece un término común compuesto después de agrupar términos con factores comunes simples Agrupar términos con factores comunes, usando la propiedad asociativa Factorizar (Caso I) en cada grupo, los factores comunes Identificar el máximo término común Dividir la expresión algebraica entre el máximo término común
Ejemplo:
4x²+72xy+9y²
4x x 9x x 2=72xy
(4x+9y)²
Cuarto caso: Diferencia de cuadrados.
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo
Ejemplo:
9x-16x
(4x+3x) (4x -3x)
- a² + ab +b²
- a * b * 2 = 2ab
a² + ab + b² ---- +ab -ab
Aplicar trinomio cuadrado perfecto
(a+b) ² - ab
Sexto caso: Trinomio de la forma ax²+-bx+-c.
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
x²+5x+6
3 x 2 = 6
3 + 2= 5
(x+3) (x+2)
Séptimo caso: Trinomio de la forma ax² + bx + c
Ejemplo:
4 x -1 = -4
4 - 1 = 3
3. (2x+4) (2x-1) /2
4. 2(x+2) (2x+1) /2
5. (x+2) (2x+1)
Caso 8: Cubo perfecto
Para que una expresión sea un cubo perfecto: Tiene cuatro términos. Que el primero y el último término sean cubos perfectos. Que el 2do término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del 1er término multiplicado por la raíz cúbica del último término. Que el 3er término sea más el triplo de la raíz cúbica del 1er término por el cuadrado de la raíz cúbica del último.
Ejemplo:
8x³+ 12x²+ 6x + 1
3(2x) 2 (1) = 12x2
(2x+1)³
Noveno caso: Suma o diferencia de cubos perfectos.
Mirar si es suma o resta de cubos para obtener la raíz cúbica del primer y segundo términos. Escribir el producto de los binomios por trinomio correspondiente.
Ejemplo:
x³ + y³
(x + y) (x² - xy + y²)
Décimo caso: Suma y diferencia de potencias iguales.
- Hallar las raíces
- Agruparlas con el signo correspondiente
- En otro grupo agruparlas multiplicándose con el exponente adecuado y basándose en el numero del exponente del 1 termino.
4.Realizar las operaciones y organizar.Ejemplo:
a5 + b5
(a + b) (a4 b0 - a³+b¹ + a²b² - a¹b³ + a0b4)
(a + b) (a4 - a³ + a²b³ - b³ + b4)
SUGUNDO PERIODO
Fracciones:
En matemáticas, una fracción,es la expresión de una cantidad dividida entre otra.El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales.
Fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
Planchas:
Imágenes propias:
Homogéneas:
Heterogéneas:
Vídeos:
Suma y resta de fracciones algebraicas:
Fracciones complejas:
actividad online:
TERCER BIMESTRE
Temas :
Números complejos:
Suma de números complejos:
4+17 + 8i - 5i
21 + -3i
Multiplicación de números complejos:
-20 - 50i - 8i - 20i
-20 - i ( 50 + 8 ) + 20
-20 - i ( 58 ) + 20
0 - 58i
-58i
Complejos de forma polar :
Gráficas polares:
Coordenadas polares:
En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Ecuaciones :
Ecuaciones lineales :
Movimientos en el plano:
Traslación: es una transformación isometrica. ¿ Que es ? es un movimiento dentro del plano que se ejecuta cuando una figura se traslada de un punto a otro si cambiar su forma.
Homotecia: Esta transformación tiene como resultado figuras con la misma forma pero de diferente tamaño.
Propiedades:
- Transforman rectas en recta.
- Transforma circulo en circulo.
Teselados: Patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana sin dejar espacio y que las imágenes no estén una encima de otra.
Composiciones: Es la composicion de dos elementos, cada uno de ellos conserva las distancias.
Para la composición de movimientos directos e inversos podemos establecer un criterio similar.
Giro: Es una rotación la cual se hace depende de los grados en la cual la figura no cambia de forma, es una traslación en la cual la figura gira o girar en una figura para el angulo que se mueve.
Simetría central: Correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo.
Simetría axial: La Simetría Axial es un movimiento en el que el eje r es mediatriz del segmento que une un punto cualquiera y su transformado, es decir, eje y segmento se cortan perpendicularmente en el punto medio del segmento. Diremos que un punto A y su transformado A´ son simétricos respecto de r.
Movimiento en el plano: http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/675447/movimiento_en_el_plano.htm
Traslación: http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/675455/traslacion_.htm
Homotecia: http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/675460/homotecia.htm
Teselados: http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/675466/teselados.htm
Composiciones: http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/675468/composiciones.htm
Giro: http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/675472/giro_movimientos_en_el_plano.htm
Simetría central: http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/675475/simetria_central.htm
Simetría axial: http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/675483/simetria_axial.htm
Cuarto periodo:
Tema: cramer 5x5
definición:
La regla de Cramer es un teorema enálgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos determinantes.
La regla de Cramer es importante porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo , es ineficiente para grandes matrices y no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones.
Imágenes:
actividades: